アップ・アンド・イン条件の評価額に与える影響について
アップ・アンド・イン条件を評価額を圧縮する（発行価額を小さくする）目的で設定する場合、相当高いハードルを設定しないと思うような評価額の圧縮となりません。
ブラック・ショールズモデルは株価の上値に上限を想定しません。現在100円の株価が5年後に1億円になるケースも100億円になるケースも、確率はごく小さいですが、想定されています。
こうしたケースは、確率はごく小さくともキャピタル・ゲインが極めて大きく、評価額に占める割合が比較的大きいものとなります。
一方、株価が現在の数倍程度の範囲は発生確率は高くともキャピタル・ゲインが微々たるものであるため（注）、評価額に占める割合は小さいものとなります。アップ・アンド・イン条件でこの部分を削っても、評価額はあまり下がりません。
（注）あくまで評価上の話です。現実には株価３倍は上場企業としては相当にハードルが高く、キャピタル・ゲインとしても小さくないと思います。
発行後のごく短期間に目標株価を達成することを条件とする（「一部期間（前）で判定」）ことで、評価額の圧縮効果があらわれてきます。
全期間にわたり判定
発行時から満期\( T \)までの間に、一度でも株価が\( H \)以上となった場合に有効になる条件での評価額\(c_{ui}\)です。意味のある条件としては\( H > S(0) \)、\( H > K \)です。
\begin{align*}
c_{ui}= & S(0) e^{-q T} N\left(e_{1}\right) -K e^{-r T} N\left(e_{2}\right) \\
& -S(0) e^{-q T}\left(H / S(0)\right)^{2 \lambda}\left[N(-f_{1})-N\left(-e_{3}\right)\right] \\
& +K e^{-r T}\left(H / S(0)\right)^{2 \lambda-2}\left[N(-f_{2})-N\left(-e_{4}\right)\right]
\end{align*}
中間的なパラメータが多くて嫌になりますが、
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r-q+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2} \\
e_{1} = \frac{\log{\frac{S(0)}{H}}}{\sigma\sqrt{T}} + \lambda\sigma\sqrt{T}, \quad e_{2} = e_{1} – \sigma\sqrt{T} \\
e_{3} = \frac{\log{\frac{H}{S(0)}}}{\sigma\sqrt{T}} + \lambda\sigma\sqrt{T}, \quad e_{4} = e_{3} – \sigma\sqrt{T} \\
f_{1} = \frac{\log{\frac{H^2}{S(0)K}}}{\sigma\sqrt{T}} + \lambda\sigma\sqrt{T}, \quad f_{2} = f_{1} – \sigma\sqrt{T}
\end{gathered}
一部期間（前）で判定
発行時から将来のある時点\( t1 \)までの間にのみ、アップ・アンド・イン条件を設定する場合の評価額\(C_{uiA}\)です。\( t1 \)から満期\( T \)までの間にバリアにヒットしても有効になりません。
例えば上場企業で、中期経営計画期間中にのみアップ・アンド・インの条件を付ける場合などが想定されます。判定が始まる時期は発行時点、終了時期は中期経営計画期間の終了時点です。
\begin{align*}
C_{uiA} &= C_{bs} – C_{uoA} \\
&= S(0) e^{-q T} N\left(d_{1}\right) -K e^{-r T} N\left(d_{2}\right) \\
& -S(0) e^{-qT} \left[ M \left(d_1, -e_1; -\rho\right) – \left( \frac{H}{S(0)} \right)^{2 \lambda} M \left(f_1, -e_3 ; -\rho\right) \right] \\
& +K e^{-rT} \left[ M \left(d_2, -e_2; -\rho\right) – \left( \frac{H}{S(0)} \right)^{2\lambda -2} M \left(f_2, -e_4; -\rho\right)\right]
\end{align*}
最右辺第1項は\( C_{bs} \)、第2項及び第3項は一部期間（前）で判定するアップ・アンド・アウト\( C_{uoA} \)の評価式（のマイナス）です。
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r – q + \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2}, \quad \rho=\sqrt{t_1 / T} \\
d_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} \\
f_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}} + 2 \log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad f_2=f_1-\sigma \sqrt{T} \\
e_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{H}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_2=e_1-\sigma \sqrt{t_1} \\
e_3=\frac{\log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_4=e_3-\sigma \sqrt{t_1} \\
\end{gathered}
一部期間（後）で判定
将来のある時点\( t1 \)から満期\( T \)までの間にのみ、アップ・アンド・イン条件を設定する場合の評価額\(c_{uiB2} \)です。発行時から\( t1 \)までの間にバリアにヒットしても有効になりません。
例えば、上場時期が合理的に想定できる程度に順調に進んできている未上場企業が、株価が観測できるようになって以降にのみアップ・アンド・インの条件を付ける場合などにはこの評価式を適用することができます。判定が始まる時期は想定されるIPO時期、終了時期は満期時点です。
\begin{align*}
C_{uiB2} &= C_{bs} – C_{uoB2} \\
&= S(0) e^{-qT} N\left(d_{1}\right) -K e^{-rT} N\left(d_{2}\right) \\ – \{
& S e^{-qT} \left[M\left(-g_1,-e_1;\rho\right)-\left(\frac{H}{S}\right)^{2\lambda} M\left(-g_3, e_3;-\rho\right) \right] \\
& -X e^{-rT} \left[M\left(-g_2,-e_2;\rho\right)-\left(\frac{H}{S}\right)^{2\lambda – 2} M\left(-g_4, e_4;-\rho\right) \right] \\
& -S e^{-qT} \left[M\left(-d_1,-e_1;\rho\right)-\left(\frac{H}{S}\right)^{2\lambda} M\left(e_3,-f_1;-\rho\right) \right] \\
& +X e^{-rT} \left[M\left(-d_2,-e_2;\rho\right)-\left(\frac{H}{S}\right)^{2\lambda – 2} M\left(e_4,-f_2;-\rho\right) \right]
\}
\end{align*}
3行目から6行目の\( \{\} \)内がアップ・アンド・アウト(一部期間（後）で判定)条件の評価式\( C_{uoB2} \)になっています。一度コーディングしたら二度と見たくない評価式ですが、
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r – q + \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2}, \quad \rho=\sqrt{t_1 / T} \\
d_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} \\
e_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{H}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_2=e_1-\sigma \sqrt{t_1} \\
e_3=\frac{\log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_4=e_3-\sigma \sqrt{t_1} \\
f_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}} + 2 \log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad f_2=f_1-\sigma \sqrt{T} \\
g_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{H}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad g_2=g_1-\sigma \sqrt{T} \\
g_3=\frac{\log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad g_4=g_3-\sigma \sqrt{T} \\
\end{gathered}
コード
（ページ作成中）
