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「株価が現在の株価以下となった場合に失効」とする場合の注意点
未上場企業においては「株価が現在の株価以下となった場合には失効する」とする条件を付けることがあります（行使価額は現在の株価と同額と想定しています）。この場合に「\( H \leq K \)の場合」の評価式を使用すると評価額が\( 0 \)になります。発行時点で「株価が現在の株価以下」となっており即時に失効するためです。
ハードルの調整を行って、例えば日次での判定を想定すれば\( 0 \)ではない評価額が得られますが、モンテカルロ・シミュレーションや二項モデルを用いた評価額と相当乖離します（こちらの留意事項参照）。この場合には解析解での評価はできませんので、モンテカルロ・シミュレーションや二項モデルを採用することになります。
また、「\( H=S(0) \)」としたうえで、インセンティブ効果を高める目的で、例えば行使価額を\( K=\frac{S(0)}{2} \)などとする（会計上の費用計上が必要になります）ケースもあります。この場合、配当がない場合でも早期行使が発生しえます。
全期間にわたり判定
発行時から満期\( T \)までの間に、一度でも株価が\( H \)以下となった場合に失効する条件です。条件から\( H \leq S(0) \)ですが、行使価額\( K \)との関係で以下の２パターンの評価式があります。
\( H \leq K \)の場合
\begin{align*}
C_{do} &= S(0)e^{-qT}N(d_{1}) – Ke^{-rT}N(d_{2}) \\
&- S(0)e^{-qT}\left(\frac{H}{S(0)}\right)^{2\lambda}N(f_{1}) + Ke^{-rT}\left(\frac{H}{S(0)}\right)^{2\lambda-2}N(f_{2})
\end{align*}
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r-q+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2} \\
d_1 = \frac{ \log{\frac{S(0)}{K}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} \\
f_{1} = \frac{\log{\frac{H^2}{S(0)K}}}{\sigma\sqrt{T}} + \lambda\sigma\sqrt{T}, \quad f_{2} = f_{1} – \sigma\sqrt{T}
\end{gathered}
\( H > K \)の場合
１円ストック・オプションにダウン・アンド・アウトが付いている場合などでは、「\( H > K \)の場合」の評価式を使用することになります。この場合には予想配当率がゼロであっても早期行使が発生しえます。
\begin{align*}
C_{do} &= S(0)e^{-qT}N(e_{1}) – Ke^{-rT}N(e_{2}) \\
&- S(0)e^{-qT}\left(\frac{H}{S(0)}\right)^{2\lambda}N(e_{3}) + Ke^{-rT}\left(\frac{H}{S(0)}\right)^{2\lambda-2}N(e_{4})
\end{align*}
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r-q+\frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2} \\
e_{1} = \frac{\log{\frac{S(0)}{H}}}{\sigma\sqrt{T}} + \lambda\sigma\sqrt{T}, \quad e_{2} = e_{1} – \sigma\sqrt{T} \\
e_{3} = \frac{\log{\frac{H}{S(0)}}}{\sigma\sqrt{T}} + \lambda\sigma\sqrt{T}, \quad e_{4} = e_{3} – \sigma\sqrt{T}
\end{gathered}
一部期間（前）で判定
発行時から将来のある時点\( t1 \)までの間にのみ、ダウン・アンド・アウト条件を設定する場合の評価式です。\( t1 \)から満期\( T \)までの間にバリアにヒットしても失効しません。
例えば上場企業で、中期経営計画期間中にのみダウン・アンド・アウトの条件を付ける場合などが想定されます。判定が始まる時期は発行時点、終了時期は中期経営計画期間の終了時点です。
\( H \leq K \)の場合、\( H > K \)の場合 いずれも同じ評価式です。
\begin{align*}
C_{doA}= & S(0) e^{-qT} \left[ M \left(d_1, e_1; \rho\right) – \left( \frac{H}{S(0)} \right)^{2 \lambda} M \left(f_1, e_3 ; \rho\right) \right] \\
& -K e^{-rT} \left[ M \left(d_2, e_2; \rho\right) – \left( \frac{H}{S(0)} \right)^{2\lambda -2} M \left(f_2, e_4; \rho\right)\right]
\end{align*}
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r – q + \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2}, \quad \rho=\sqrt{t_1 / T} \\
d_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2=d_1-\sigma \sqrt{T} \\
f_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{K}} + 2 \log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad f_2=f_1-\sigma \sqrt{T} \\
e_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{H}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_2=e_1-\sigma \sqrt{t_1} \\
e_3=\frac{\log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_4=e_3-\sigma \sqrt{t_1} \\
\end{gathered}
一部期間（後）で判定
将来のある時点\( t1 \)から満期\( T \)までの間にのみ、ダウン・アンド・アウト条件を設定する場合の評価式です。発行時から\( t1 \)までの間にバリアにヒットしても失効しません。
例えば、上場時期が合理的に想定できる程度に順調に進んできている未上場企業が、株価が観測できるようになって以降にのみノック・アウトの条件を付ける場合が考えられます。判定が始まる時期は想定されるIPO時期、終了時期は満期時点です。
\( H \leq K \)の場合
解析解はありません（注）。通常はこちらのケースでの発行が想定されるのですが、モンテカルロ・シミュレーション等により評価を行うことになります。
（注）筆者のリサーチ不足である可能性があります。
\( H > K \)の場合
\begin{align*}
C_{doB2}= & S(0) e^{-qT} \left[ M \left(g_1, e_1; \rho\right) – \left( \frac{H}{S(0)} \right)^{2 \lambda} M \left(g_3, e_3 ; -\rho\right) \right] \\
& -K e^{-rT} \left[ M \left(g_2, e_2; \rho\right) – \left( \frac{H}{S(0)} \right)^{2\lambda -2} M \left(g_4, e_4; -\rho\right)\right]
\end{align*}
\begin{gathered}
\lambda = \frac{r – q + \frac{1}{2}\sigma^2}{\sigma^2}, \quad \rho=\sqrt{t_1 / T} \\
g_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{H}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad g_2=g_1-\sigma \sqrt{T} \\
g_3=\frac{\log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad g_4=g_3-\sigma \sqrt{T} \\
e_1=\frac{\log{\frac{S(0)}{H}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_2=e_1-\sigma \sqrt{t_1} \\
e_3=\frac{\log{\frac{H}{S(0)}} + \left(r – q + \frac{1}{2}\sigma^2 \right) t_1}{\sigma \sqrt{t_1}}, \quad e_4=e_3-\sigma \sqrt{t_1} \\
\end{gathered}
行使価額もハードルも現在の株価と同額（\( K=H=S(0) \)）として、株価が観測できるようになって以降にのみノック・アウト条件を付ける場合を考えます。
この場合、\( K \)を評価上許容できる程度の水準だけ引き下げて、例えば\( K=S(0)-0.01 \)円などとして、\( H > K \)の場合の評価式を適用することができます。
ただし、\( H \)にダウン・アンド・アウトのハードル調整を行うと\( \mathrm{（調整後）}H \leq K \)となってしまうので、連続的に判定を行う想定での評価のみ可能です（\( H \)にハードル調整を行うことはできません）。
また、\( t1 \)が\( 0 \)に近い場合、ダウン・アンド・アウト(全期間にわたり判定)で述べたように、発行後即時に失効する状況に近くなります。
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